最適化問題の基礎数学を学ぶ①

最適化問題で勾配法やニュートン法の基礎になる曲面と曲線の説明をします。

これを理解しておかなければ、最適化問題を理解することが出来ないので、しっかり勉強しましょう

曲線の法線ベクトル

上のような曲線に接する接するベクトルを考えます。曲線の内側・外側・曲線上ではf(x,y)の値はそれぞれ下のようになります。

この曲線上の2点 \(f(\bar{x},\bar{y}), f(\bar{x}+\Delta{x},\bar{y}+\Delta{x})\)について考えます。曲線上にあるので、以下の式が成り立ちます

\(f(\bar{x},\bar{y})=0, f(\bar{x}+\Delta{x},\bar{y}+\Delta{x})=0\)

第2式をテイラー展開すると下のようになります。

\(f(\bar{x}+\Delta{x},\bar{y}+\Delta{x}) = f(\bar{x},\bar{y}) + \dfrac{\partial{\bar{f}}}{\partial{{x}}}\Delta{x} + \dfrac{\partial{\bar{f}}}{\partial{{y}}}\Delta{y} \)+・・・・　=0

となります。ここから、ベクトル\( \nabla{f} ,\Delta{x}\)を下のように定義します。

上のように定義すると、先ほどの式は次のようになります。

\(f(\bar{x}+\Delta{x},\bar{y}+\Delta{x}) =(\nabla{\bar{f}},\Delta{x}) +\)・・・=0

\(\nabla{\bar{f}}\)は\({\nabla{f}}\)の\((\bar{x},\bar{y})\)での値を意味すします。
この\(\nabla{\bar{f}}\)は曲線の法線ベクトルになります。定理にすると

曲線の接線

曲面の法線ベクトルに対する法線ベクトルを考えます。つまり、下図の赤線のベクトルを考えます。

この赤線が、曲線の上のを通るとき、曲線の接線になります。

曲線の接線を求める公式は下のようになります。

例として、放物線\(y=2x^2 + 3x – 1 \)の点\(1,4)\)における接線を求めてみます。
法線ベクトルは\(\nabla{f}\)で求められるので、放物線の法線ベクトルは下のようになります。

partial{\bar{f}}}{\partial{{x}　= -4x -3 = -7 , partial{\bar{f}}}{\partial{{x}　= 1

となり\( \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}\)となります。これを公式に当てはめると

\( -7(x – 1) + (y -4) \)
\(y = 7x-3 \)

となり、接線は\(y = 7x-3 \)であることが分かります。

曲面の場合

曲面は基本的に、曲線にz軸が増えたものになります。

曲面\(f(x,y,z) =0\)の法線ベクトルは曲線と同じく以下のようになります。

曲面の接面は以下のように求められます。